Definimos (se fue) un módulo M sobre una S-álgebra R para ser un S-módulo M con un −→ M del ∧S M de la acción R tales que los diagramas estándar conmuten. Obtenemos a SR. de la categoría de R-módulos (dejados) y un Dr. derivado There de la categoría es un ∧R N del producto M del choque de un R-módulo derecho M y de un R-módulo izquierdo N, que es un Smodule. Para los R-módulos izquierdos M y N, hay un S-módulo franco (M de la función, N) que disfruta de propiedades apenas como los módulos de homomorphisms en álgebra. Cada franco (M, M) es una S-álgebra. Si R es comutativo, después el ∧R de M N y franco (M, N) es R-módulos, y en este caso SR. y el dr disfrutan de todas las propiedades del ms y del DS. Cada S-álgebra comutativa R determina así una categoría derivada de R-módulos que tenga toda la estructura que la categoría homotopy estable tiene. Estas nuevas categorías están de interés intrínseco sustancial, y dan las nuevas herramientas potentes para la investigación de la categoría homotopy estable clásica.

Sobre la restricción a los espectros del carril del Eilenberg-mac, nuestra teoría topológica incluye mucha álgebra clásica. Para un anillo discreto R y los R-módulos M y N, tenemos torres n (M, N) πn del ∼= (HM ∧HR HN) y Extn R (M, N) π−nFHR del ∼= (HM, HN). Aquí el ∧R y el franco se deben interpretar en la categoría derivada; es decir, el HM debe ser un Hora-módulo del CW. Por otra parte, la categoría derivada algebraica dr es equivalente a la categoría derivada topológica DHR. En general, para una S-álgebra R, la aproximación de los R-módulos M por los R-módulos débil equivalentes de la célula es áspero análoga a formar resoluciones descriptivas en álgebra. Hay una analogía mucho más exacta que implica el desarrollar de las categorías derivadas de la INTRODUCCIÓN 3 de módulos sobre los anillos o, más generalmente, de DGA en términos de módulos de la célula. Se presenta en [34], que da una teoría algebraica de las k-álgebra de A∞ y de E∞ que sea paralelo a de cerca la actual teoría topológica. Sobre la restricción al espectro S de la esfera, al ∧S derivado N de los productos M del choque y a los espectros FS de la función (M, N) tiene como sus grupos homotopy los grupos de la homología y del cohomology N∗(M) y N∗ (m). Esto sugiere las notaciones alternativas